Lycee:Maths

Un article de St Jacques Hazebrouck.

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Année 2007

Philippe Moeneclaey 10 janv 2007 à 15:00 :

  • La page de maths vous accueille !
  • Cette page se veut une invitation ...
  • Lien rapide avec la page de la Pastorale.
  • Bonne Visite !

Sommaire


Site internet de Maths.

Pour les mordus de maths, et les autres ! le site des mathématiques du lycée Saint-Jacques existe !

Il est tout nouveau et assez vide pour l'instant ! Il s'étoffera sûrement assez vite (du moins je l'espère !)

Alors, n'hésitez pas à y jeter un oeil : http://www.maths-stjacques.1s.fr

Si le lien ne fonctionne pas : http://pmoon.club.fr/maths/index.htm



Les horaires et programmes

Cliquez ici pour un aperçu du programme de mathématiques et de l'horaire des différentes classes.

Page des programmes de maths


Quelques problèmes...

Voici trois problèmes sur les fonctions pour vous présenter la matière !



Niveau terminale

D'après Bac Nouvelle-Calédonie 2005


Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n'est plus qu'à 7 mètres de lui. Son demarrage est foudrayant et on suppose qu'il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c'est à dire 30 km/h !

L'avant du camion est représenté par le segment [CC'] sur le scéma ci-dessous. Le lapin par du point A en direction de D.

Cette direction est repérée par l'angle \theta = \widehat{B A D} avec 0 \le \theta < \frac{\pi}{2} .

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si :
f(\theta) = \frac{7}{2} + 2 \tan \theta - \frac{4}{\cos \theta} > 0.
Conclure.




Niveau première


Une pyramide OABCD est inscrite dans un cube ABCDEFGH, le sommet O étant le centre de la face EFGH. Les arêtes du cube mesurent 6 cm. L’espace compris entre le cube et la pyramide est rempli d’eau jusqu’à une hauteur h , exprimée en cm.

Exprimer le volume V(h) d’eau utilisée pour une hauteur h. Représenter cette fonction sur l'intervalle [0 ; 6].
Déterminer une valeur de h pour laquelle V (h) est égal à \frac{17}{3} ( en cm3 ).





Niveau seconde

Un élève habite à 5 km du lycée. Il dispose, grâce à son scooter, d'au plus un quart d'heure pour faire son trajet. Sur la figure ci-dessous trois courbes donnent la distance qui sépare l'élève de son domicile en fonction du temps. L'origine du temps correspond à l'instant de départ du domicile.


Pour chacun des trajets, décrire le comportement de l'élève durant les 15 minutes écoulées entre le départ de son domicile et son arrivée au lycée. (on donnera les vitesses moyennes sur chaque partie du trajet).
Représenter par une courbe le trajet d'un élève qui met trois minutes pour démarrer son scooter ; qui part avec une certaine vitesse v , qui tombe en panne au bout de 4 min et qui dépanne son scooter pendant 2 nouvelles minutes ; qui repart enfin en gardant la même vitesse v et qui arrive quand même à l'heure au lycée ! Quelle est sa vitesse v ?




Quelques courbes...

L'étude des fonctions constitue l'une des notions importantes du savoir mathématique du lycée. Nous vous proposons quelques courbes représentatives de fonctions. Ce n'est pas pour vous décourager face à d'horribles fonctions mais pour montrer la diversité de ces fonctions et de leurs courbes.

C'est aussi un exercice d'utilisation de la calculatrice graphique, outil utile au lycéen.


  • Mais au fait, faut-il faire confiance à la calculatrice ?!?

A l'aide d'un petit logiciel de graphique (comme votre calculatrice) , voici ci-contre la courbe dans un repère orthonormé \left ( O ; \vec i\ \vec j\ \right ) de la fonction impaire définie sur \left ] - \infty ; - 5 \right [ \cup \left ] -5 ; 5 \right [ \cup \left ] 5 ; + \infty ; \right [ par

f (x) = \frac{ \sin x}{x^2 - 25}



On ne peut pas dire que l'on voit grand chose ! A première vue, la courbe se confond avec l'axe des abscisses entre - 4 et 4.

Mais en affinant le tracé, on distingue des variations autour de l'origine. La fonction n'est pas constante sur l'intervalle [ - 4 , 4].



Alors, moralité : méfiez-vous de votre calculatrice ! C'est un bon instrument mais qui a ses limites !


  • La loi normale centrée réduite


Voici la courbe de la fonction \varphi : \R \to \R^+ définie par :

\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}} .

Voilà bien une courbe banale ! Mais pas autant qu'on peut le penser ! En effet cette fonction est la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite qui est la loi de probabilité par excellence ! Elle représente la distribution idéale et de nombreux phénomènes statistiques suivent cette loi ...

Cette fonction est continue, et son intégrale sur \ \R est égale à 1 (Hors programme en terminale !).

Cette fonction est paire ; elle est indéfiniment dérivable et vérifie, pour tout \ t \in \R, l'identité :

\varphi'(t) = - t\, \varphi(t).

La représentation graphique de cette fonction est appelée courbe de Gauss ou plus simplement courbe en cloche !

Pour plus de renseignements (mais costauds !) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale




Un peu d'histoire.

  • La droite et le cercle d'Euler
Cercle et droite d'Euler d'un triangle
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Cercle et droite d'Euler d'un triangle


En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle est le cercle passant :

  • par chacun des milieux des trois côtés du triangle,
  • par le pied de chacune des trois hauteurs du triangle,
  • par le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle.

De nombreux points remarquables du triangle sont situé sur ce cercle : de ce fait il possède plusieurs noms, parmi lesquels : cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, Cercle de Terquem, cercle des 6, 12 ou 24 points, cercle médian, etc.


La droite d'Euler d'un triangle est la droite passant par l'orthocentre H, le centre du cercle circonscrit Ω , le centre de gravité G et le centre du cercle d'Euler de ce triangle.

Le centre du cercle d'Euler est situé au milieu du segment formé par l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit. D'autre part, la distance entre le centre de gravité et l'orthocentre est le double de celle entre le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit.

C'est le mathématicien Suisse Leonhard Euler (1707-1783) qui démontra le premier que tous ces points étaient alignés. de plus, on sait grâce à cette propriété que \overrightarrow{\Omega H} = 3 \overrightarrow{\Omega G}.


Leonhard Euler
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Leonhard Euler


Et que dire du génie d'Euler ? Ce mathématicien a apporté tant aux mathématiques !

Il fut à la fois mathématicien, physicien, ingénieur et philosophe. C'est l'un des fondateurs des méthodes de calcul différentiel et intégral. Euler réalisa de nombreux travaux mathématiques importants et des centaines de mémoires mathématiques et scientifiques.

Dans son Introduction à l'analyse des infiniment petits (1748), Euler fut le premier à traiter de manière analytique et complète l'algèbre, la théorie des équations, la trigonométrie et la géométrie analytique. Dans ce travail, il traita le sujet du développement des séries de fonctions et formula la règle selon laquelle seules les séries infinies convergentes pouvaient être correctement évaluées. Il discuta aussi des surfaces à trois dimensions et prouva que les sections coniques sont représentées par l'équation générale du second degré à deux dimensions. D'autres travaux traitent du calcul, dont le calcul des variations, la théorie des nombres, les nombres imaginaires et l'algèbre déterminée et indéterminée.





Solutions des problèmes...

Niveau terminale

D'après Bac Nouvelle-Calédonie 2005
Pour la solution : regardez la correction de l'exercice 4 du bac Nouvelle-Calédonie 2005.
Lien : http://www.ac-bordeaux.fr/APMEP/Fichier%20annales/dossier%20S/dossier%202006/CorrigeNlleCaledoSnov.2005.pdf





Niveau première


Une pyramide OABCD est inscrite dans un cube ABCDEFGH, le sommet O étant le centre de la face EFGH. Les arêtes du cube mesurent 6 cm. L’espace compris entre le cube et la pyramide est rempli d’eau jusqu’à une hauteur h , exprimée en cm.


  • Exprimer le volume V(h) d’eau utilisée pour une hauteur h. Représenter cette fonction sur l'intervalle [0 ; 6].
Notons tout d'abord que la longueur AB = 6 et par réduction, la longueur A'B' = 6 - h.
Pour déterminer le volume d'eau, on va calculer trois volumes :
Le volume du parallélépipède de hauteur h et de base 6 ² ; le volume de la pyramide OABCD et celui de la pyramide OA'B'C'D'. On obtient alors par soustraction le volume d'eau en fonction de h, notée V(h), suivant :
V (h) = 6^2 \times h - \left [ \frac{1}{3} \times 6^3 - \frac{1}{3} \times \left ( 6-h \right ) ^3 \right ]
Il ne nous reste plus qu'à développer et simplifier le calcul :
V (h) = 36 h - 72 + \frac{1}{3} \times \left ( 216-108h+18h^2-h^3 \right ) = - \frac{1}{3} h^3+ 6h^2
Cette fonction est croissante sur [0 ; 6] à la vue de l'expérience.
On peut alors tracer la courbe de cette fonction en prenant soin d'adapter l'échelle (on remarque que V (6) = 144).
On obtient la courbe suivante :


  • Déterminer une valeur de h pour laquelle V (h) est égal à \frac{17}{3} ( en cm3 ).
Cela revient à résoudre l'équation :
V (h) = - \frac{1}{3} h^3+ 6h^2 = \frac{17}{3} ; ou encore : − h3 + 18h2 − 17 = 0 .
Le réel 1 est une racine évidente de cette équation. Comme la fonction est croissante sur [0 ; 6] , il n'ya pas d'autre solution.


Niveau seconde

Un élève habite à 5 km du lycée. Il dispose, grâce à son scooter, d'au plus un quart d'heure pour faire son trajet. Sur la figure ci-dessous trois courbes donnent la distance qui sépare l'élève de son domicile en fonction du temps. L'origine du temps correspond à l'instant de départ du domicile.



  • Pour chacun des trajets, décrire le comportement de l'élève durant les 15 minutes écoulées entre le départ de son domicile et son arrivée au lycée. (on donnera les vitesses moyennes sur chaque partie du trajet).
  • Trajet Bleu : Notre élève part comme une furie ! il parcourt 3 km en 3 minutes ce qui fait du 60 km/h ! Tout cela pour jouer pendant 5 minutes au babyfoot avec des copains. Il repart après tranquillement vers le bahut et parcours les 2 derniers kilomètres en 7 minutes, soit à la vitesse moyenne de 17,14 km/h.
  • Trajet Vert : Notre élève est plutôt cool aujourd'hui. Il effectue les 3 premiers kilomètres en 6 minutes, soit à la vitesse de 30 km/h. Comme ses potes ne sont pas là, il continue tranquille et parcourt les 2 dernières bornes en 9 minutes, soit à la vitesse pépère de 13,3 km/h.
  • Trajet Orange : Notre élève est mal reveillé aujourd'hui. Il effectue les 2 premiers kilomètres en 5 minutes (24 km/h) mais il se rend compte qu'il a oublié son sac ! Il doit donc rebrousser chemin. Il se dépêche et revient sur ses pas en 3 minutes, cela fait donc 2 km en 3 min soit 40 km/h. Il lui reste alors 7 minutes pour accomplir les 5 km. Il repart donc à la vitesse de 42,8 km/h pour arriver à l'heure. Ouf !


  • Représenter par une courbe le trajet d'un élève qui met trois minutes pour démarrer son scooter ; qui part avec une certaine vitesse v , qui tombe en panne au bout de 4 min et qui dépanne son scooter pendant 2 nouvelles minutes ; qui repart enfin en gardant la même vitesse v et qui arrive quand même à l'heure au lycée ! Quelle est sa vitesse v ?
  • Trajet Violet : Notre élève est resté immobilisé en tout 5 minutes. Il a donc parcouru les 5 km en 10 minutes à la même vitesse v. Cette vitesse est donc de 30 km/h. Il ne reste plus ensuite qu'à reporter les segments du trajet.



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